Raúl Ibáñez, els nombres de Lychrel i els nombres perfectes

Ja no queda gaire perquè s’acabi aquest any 2025. El temps passa volant!. No fa tant rebia missatges que em desitjaven un bon any 2025 (o bé els enviava jo) i aviat  tornarem a fer el mateix amb el 2026.

Els primers dies del gener passat vaig llegir uns quants articles sobre aquest any 2025 que acabàvem d’encetar. Tots venien a dir més o menys el mateix; que el 2025 és un any quadrat i que aquest nombre té també unes quantes peculiaritats matemàtiques més, que el fan una mica especial. Sempre m’han agradat les curiositats matemàtiques i em vaig llegir els articles amb bastant interès.

Com que el proper any quadrat no serà fins al 2116 i dubto que ni tu ni jo estiguem aquí per gaudir-lo, t’explicaré que significa això d’any quadrat abans de què s’acabi aquest 2025 (l’únic any quadrat que viuràs…segurament!).

Doncs bé, la cosa és molt senzilla i no cal saber gaire de matemàtiques, només recordar alguns conceptes bàsics.

El 2025 és un nombre quadrat perfecte perquè és el resultat de 45². És a dir, per si tens les “mates” molt rovellades t’ho explico millor:

45² = 45 x 45 = 2.025

Però és que a més, també pot escriure’s com una suma de quadrats perfectes:

5² = 25

20² = 400

40² = 1.600

2.025 = 5^{2 +} 20²⁺ 40² = 25 + 400 + 1600

O bé, el producte (multiplicació) de dos quadrats perfectes:

5² = 25

9² = 81

25 x 81= 2025

Però el 2025 no només te una relació especial amb el quadrat sinó que també la te amb el cub (recorda que el quadrat seria per exemple  2²  = 2 x 2 mentre que el cub és per exemple 2³ = 2 x 2 x 2). La relació que te el nombre 2.025 amb el cub és que aquest és pot escriure com la suma de tots els cubs de tots els nombres d’un sol dígit:

0³ + 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2.025

Quan jo era petit, una cosa que em feia gràcia d’haver nascut un vint-i-u de desembre era que la meva data de naixement escrita en números donava lloc a un nombre capicua: 2112  

El mot capicua és com un palíndrom però referit als nombres (en anglès es diu “Palindròmic number”), es a dir, un nombre que no varia tant si es llegeix d’esquerra a dreta com si es llegeix de dreta a esquerra (recordaràs que et vaig parlar dels palíndroms en la història “Palíndroms, anagrames i bifronts”). Els anys 1991 o 2002 per exemple van ser anys capicua. L’actual 2025 està clar que no ho és, però pel professor del Departament de Matemàtiques de la Universitat del País Basc, Raúl Ibáñez, el 2025 és un número que “volia ser capicua”. Resulta que hi ha una curiosa manera d’obtenir nombres capicua a partir de qualsevol número que no sigui capicua i que consisteix en sumar-li a aquest número el seu simètric.

Per exemple, agafem el dia que vaig néixer, el 21, llavors li sumem el seu simètric, el 12, i obtenim 21 + 12 = 33 que si és capicua. En aquest cas ho hem aconseguit en només un pas o iteració però la quantitat de passos que necessitarem dependrà del número en concret. Per exemple, agafem el 57, li afegim el seu simètric, el 75, i obtenim 57 + 75 = 132, que no és capicua, però aleshores hem de continuar realitzant el mateix procés amb aquest numero resultant, el 132. Si al 132 li sumem el seu simètric, ens dona 132 + 231 = 363, que ara si que es capicúa. A diferència del 21 en què hem aconseguit “convertir-lo” en capicua en una única iteració, amb el 57 n’hem necessitat dos. Amb el número 89 necessitem fins a 24 passos!

Això succeeix amb tots el números? Doncs no, millor dit, no ho sabem; aquest problema matemàtic encara està sense resoldre. Hi ha números dels quals és desconeix si és poden convertir en un nombre capicua mitjançant aquest procés. Els tres números més baixos als quals els succeeix això son el 196, el 295 i 394 però n’hi ha bastants més. A aquests números se’ls coneix amb el nom de “nombres de Lychrel” (Lychrel és un anagrama de Cheryl que era el nom de la parella del matemàtic que treballava en aquest tema).

Si abans et deia que el número 89 necessitava 24 iteracions per assolir el seu “palíndrom”, la pregunta és: excepte en el cas dels “nombres de Lychrel” i dels números que ja son capicua originàriament (11, 22, 33…) calen molts passos per convertir un número no capicua en capicua? Doncs dependrà del número clar; el número 10.911 necessita 55 passos mentre que el 150.296 en necessita 64. El record fins ara el te un número de 19 dígits que necessita 261 iteracions per “trobar” el seu capicua!

Si tornem al nostre actual any 2025 ja hem dit que no es capicua però està solament a un pas de ser-ho: 2.025 + 5.202 = 7.227, que és capicua.

Per cert, que el 2025 sigui un quadrat perfecte no vol dir que sigui un número perfecte ja que un nombre perfecte en matemàtiques vol dir una altra cosa. El nombre perfecte és aquell que és igual a la suma dels seus divisors, exceptuant ell mateix. És a dir, aquells números pels quals es pot dividir sense deixar residu. Per exemple el 6 és un número perfecte perquè es pot dividir per 1, 2 i 3 i la suma d’aquests 1 + 2 + 3 = 6

Els següents números perfectes son el 28, el 496 i el 8.128:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 248

8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.084

N’hi uns quants més però no gaires i ja son números de moltes xifres.

Per cert, en el cas del número 6 com t’acabo de dir, es pot dividir per 1, 2 i 3 i la suma d’aquests 1 + 2 + 3 = 6 però resulta que també és el resultat de la multiplicació d’aquests: 1 x 2 x 3 = 6  Serà el número 6 un nombre doblement perfecte o perfecte al quadrat?