Aniversaris, probabilitats i jugadors de futbol

D’entre els diferents grups de “whatsapp” en els quals estic, n’hi ha un que està format pels antics companys del “Santa Claus” que és l’escola on vaig estudiar EGB (que és com es deia abans la  primària). Aquest grup està format per 26 persones i és va crear perquè ens poséssim al dia de les nostres vides, així com per anar-nos explicant el més important que ens va succeint en el dia a dia. Al final, excepte per alguna trobada que hem organitzat i pel naixement ocasional de fills, aquest grup és utilitzat sobretot per felicitar-nos els aniversaris. Jo me’n recordava de quan estudiàvem plegats que dos companys d’escola (el Jorge i el Pedro) complien anys el mateix dia (el 12 de març). Però una cosa que no recordava i que he sabut arran de pertànyer a aquest grup de “whatsapp” és que dos companys més (el Toni i la Cristina) també celebren l’efemèride el mateix dia (en aquest cas, l’11 de gener).

Vaig pensar en aquell moment, que aquest fet constituïa una extraordinària causalitat. Però un dia (temps més tard) em vaig “topar” amb l’anomenat “problema o paradoxa dels aniversaris” que és un problema de probabilitat i matemàtic (d’estadística). L’objectiu d’aquesta paradoxa és determinar quina es la probabilitat que hi ha en un grup determinat de persones perquè almenys dues d’elles coincideixin en la data de naixement (dia i mes) com passa amb els meus companys d’EGB. L’enunciat d’aquest problema també s’acostuma a fer de la següent manera “Quantes persones calen perquè dos d’elles celebrin l’aniversari el mateix dia amb una probabilitat que sigui major del 50% (exactament del 50,7%)?”.

Per aquest problema no tindrem en compte els anys de traspàs (“bisiestos” en castellà). És a dir, tots els anys tindran 365 dies. També farem com si els germans bessons no existissin. Tenint en compte aquestes dues circumstàncies es fàcil dir per exemple que perquè la probabilitat sigui del 100% el grup de persones ha d’estar format com a mínim per 366 membres (amb aquesta xifra, segur que almenys hi ha dos persones que han nascut el mateix dia i mes). Doncs bé, per sentit comú a la resposta de dalt (quantes persones calen perquè dos d’elles celebrin l’aniversari el mateix dia amb una probabilitat que sigui major del 50%?) la resposta intuïtiva que es dona sovint es la de 183 persones (366 dividit entre dos). Però el número correcte està molt allunyat d’aquesta xifra. Per aquest motiu en aquest problema se l’anomena paradoxa, perquè es tracta d’una veritat matemàtica que contradiu el sentit comú.

Quan es proposa aquest problema per primer cop com jo estic fent ara amb vosaltres i es demana una estimació mínima sobre el numero de persones que hauria de tenir un grup perquè sigui més probable que improbable que dues persones comparteixin el dia de l’aniversari, la majoria de persones s’equivoca i dona una xifra molt més alta de la que és correcta. Doncs bé, la resposta correcta és la de 23 persones.

La clau per entendre aquesta sorprenent i increïblement baixa xifra és pensar que hi ha moltes possibilitats de trobar parelles que compleixin anys el mateix dia. Nosaltres “inconscientment” esperem la repetició d’un determinat dia (el nostre aniversari). Però aquesta repetició es pot donar entre dos dies qualsevol, amb la qual cosa aquestes poden combinar-se entre sí (en matemàtiques això s’anomena combinació sense repetició). Així per saber quantes parelles es poden formar amb un determinat numero de persones (n) aplicarem la següent fórmula matemàtica:

n x (n – 1) / 2 = numero de parelles que es poden formar

Llavors per exemple si volem saber:

Quantes parelles es poden crear amb 6 persones? La resposta és 15 parelles (6×5) / 2 = 15

Amb 23 persones, per tant hi hauran (23×22) / 2 = 253 parelles

De manera que amb 23 persones es poden combinar i crear fins a 253 parelles diferents, cadascuna d’elles és una candidata potencial per complir la paradoxa.

Això no significa que si tu entres en una habitació amb 22 persones, la probabilitat de trobar una persona que compleixi anys el mateix dia que tu sigui de més del 50%, sinó que aquesta és molt més baixa (un 6% concretament) perquè només es “creen” 22 parelles i es necessiten 253 parelles perquè hi hagi més del 50% de possibilitats de que això succeeixi (50,7%).

Jo vaig estar molts anys sense trobar una persona que hagués nascut el mateix dia que jo. Un dia però, vaig entrar a treballar al Jutjat de primera instància número 57 de Barcelona. Vaig estar poc temps treballant en aquest jutjat però va ser suficient per descobrir que de les 9 persones que treballàvem en aquell òrgan judicial (excloent la jutgessa i la lletrada de l’Administració de Justícia, de qui no sabia els aniversaris) tres havíem nascut un 21 de desembre (amb el Llorenç encara ens felicitem mútuament l’aniversari aquest dia). Més endavant quan treballava a l’Audiència de Barcelona vaig conèixer una funcionària ja jubilada (la Mònica) que també havia nascut el 21 de desembre (a més un dels seus cognoms es Rocamora com el segon meu). També ens felicitem recíprocament l’aniversari cada 21 de desembre.

Però tornem una altra vegada a la “paradoxa dels aniversaris”. A mi aquesta resposta em continuava donant que pensar. Trobava que 23 es una xifra molt baixa per crear una probabilitat més gran del 50% perquè dos persones celebrin l’aniversari el mateix dia i mes. Vaig estar buscant per internet i vaig trobar diferents pàgines web en les quals es parla d’aquest problema. A internet vaig trobar formules matemàtiques que demostren que la resposta de 23 és correcta i es pot demostrar (formules matemàtiques que no reproduiré aquí). Malgrat aquesta confirmació científica jo volia trobar una demostració a la “vida real”. On podria trobar un col·lectiu d’unes 23 persones aproximadament, en el qual sabent les seves dates de naixement pogués comprovar el fet que amb aquestes 23 persones la probabilitat de què dos d’elles coincideixin en dia i mes sigui lleugerament superior al 50%?

Vaig pensar primer en una escola, on les classes estan formades per entre 20 i 30 nens, però… Com saber les dates de naixement dels nens? Hauria d’anar preguntant alumne per alumne un dia de classe? Doncs mentre rumiava aquesta possibilitat se’m va ocórrer una manera molt més senzilla, fàcil i còmode de posar en pràctica aquest “experiment”. Vaig recordar que abans de l’Eurocopa de Futbol de 2020 les convocatòries de les diferents seleccions nacionals estaven formades per exactament 23 jugadors de futbol (a l’Eurocopa de 2020 disputada el 2021 aquest número es va ampliar fins a 26 degut a la pandèmia i no sé com quedarà això en el futur).

Es tractava doncs de trobar una web on poder veure quins van ser els jugadors triats per anar a l’última Eurocopa en la qual les seleccions estiguessin formades per 23 jugadors (va ser l’Eurocopa de l’any 2016), així com quin dia havia nascut cadascun dels futbolistes. En aquella competició esportiva celebrada a França l’any 2016 hi van participar 24 combinats. Per tant, tenim 24 “grups” formats per 23 “persones” i segons les matemàtiques, a cada equip hi ha un probabilitat més gran del 50% de què dos jugadors hagin nascut el mateix dia i mes. En conseqüència fent un senzill càlcul, ens trobem que examinades les dates d’aniversaris dels jugadors de futbol de cada selecció, per a què fos certa la xifra de 23, hi haurien d’haver 12 o més equips en els quals es donés el cas de què dos jugadors del mateix equip haguessin nascut el mateix dia. Doncs bé (amb les dades que vaig analitzar de la “wikipedia” en anglès) aquest fet es dona en fins a 18 equips. Només a 6 seleccions no hi havien coincidències (Romania, Suïssa, Alemanya, Ucraïna, Itàlia i Àustria). Als 18 combinats restants almenys hi ha una coincidència de dos jugadors que compleixen anys el mateix dia.

Portugal no només va guanyar aquella competició (derrotant a l’amfitriona 1-0 a la final) sinó que també va ser l’única selecció en la qual fins a 3 jugadors van néixer el mateix dia. José Fonte, Raphaël Guerreiro i Eder (l’autor del gol de la victòria a la final) van néixer tots tres el 22 de desembre. A més en aquest país també es dona una doble coincidència ja que el dia 1 d’octubre van néixer dos jugadors més (Anthony Lopes i Eliseu). També hi ha dobles coincidències a les seleccions de França, Rússia, Gales, Turquia  i  Suècia. “Únicament” tenen una coincidència les restants seleccions (Albània, Anglaterra, Eslovàquia, Polònia, Irlanda del Nord, Espanya, Rep. Txeca, Croàcia, Bèlgica, Irlanda, Islàndia i Hongria). Bé doncs, queda plenament comprovat amb un exemple real de què amb 23 persones hi ha una possibilitat de més del 50% de què n’hi hagi dos que hagin nascut el mateix dia del mateix mes.

Per cert, analitzats els dies d’aniversari dels 552 jugadors que van participar en aquell torneig, cap ni un va néixer el mateix dia que jo (21 de desembre). Quina probabilitat hi havia de què això succeís?